La serie de Taylor es una serie funcional
y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a
una función.
Sirve para proporciona una buena forma de
aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la
función y sus derivadas en otro punto.
Por supuesto, para hacer esta aproximación
sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el
resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del
que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.
Pueden resolver por aproximación funciones
trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...
Su función se basa en ir haciendo
operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la
serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la
siguiente:
Donde n! es el factorial
de n
F(n) es la enésima derivada de f en
el punto a
Como se puede observar en la ecuación, hay
una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por
lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para
fines prácticos
no afecta mucho en el
resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.
no afecta mucho en el
resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.
Teorema de Taylor: Si
la función f y sus primeras n+1 derivadas son
continuas en un intervalo que contiene a a y a x,
entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden
debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.
Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o
sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de
términos.
El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso
de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente
cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.
¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?
La ecuación para el término residual se puede expresar como:
Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1.
El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.
